Fonctions numériques : Mémento

Fonctions numériques définition

Une fonction numérique de A vers B est définie par la donnée de :

• A: ensemble de départ
• B: ensemble d'arrivée
• et d'une correspondance permettant d'associer à tout élément x de A, un élément y de B au plus.

Parité d'une fonction.

• Une fonction est paire sur `RR` si pour tout `x in RR` f(x)=f(-x)
• Une fonction est impaire sur `RR` si pour tout `x in RR` f(-x)=-f(x)

Le calculateur de parité permet de détermine si une fonction est paire ou impaire.

Représentation graphique des fonctions numériques

On appelle courbe représentative d'une fonction numérique f l'ensemble des points de coordonnées M(x ; y), où y représente l'image de x par f. Voici, par exemple la représentation graphique de la fonction f définie par `f(x)=x^2-3` obtenue grâce à la calculatrice.

Représentation graphique d'une fonction paire.

Dans un repère orthogonal, lorsqu'une fonction est paire, l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de sa représentation graphique.

Représentation graphique d'une fonction impaire

Dans un repère, lorsqu'une fonction est impaire, l'origine O est un centre de symétrie de la représentation graphique.

Sens de variation d'une fonction

f est une fonction et I un intervalle contenu dans son ensemble de définition.

• Dire que f est strictement croissante sur I signifie que pour tous réels u et v de l'intervalle I, l'inégalité u > v implique f(u) > f(v).
• Dire que f est strictement décroissante sur I signifie que pour tous réels u et v de l'intervalle I, l'inégalité u > v implique f(u) < f(v).

Calcul de la dérivée d'une fonction

Fonction dérivable en a et nombre dérivé en a

f est une fonction et a un point de son ensemble de définition. Dire que f est dérivable en a, et que le nombre dérivé de f en a est L, signifie que la fonction
`h -> (f(a+h)-f(a))/h` admet pour limite en zéro le nombre L.

Formules usuelles à utiliser pour le calcul de la dérivée d'une fonction

• Formule de calcul de la dérivée d'une somme de fonction : (u+v)' = u'+v'
• Formule de calcul de la dérivée d'un produit de fonction : (uv)' = u'v+uv'
• Formule de calcul de la dérivée d'une fonction multiplier par une constante : (ku)' = ku'
• Formule de calcul de la dérivée de l'inverse d'une fonction : `(1/v)'` = `-(v')/v^2`
• Formule de calcul de la dérivée du rapport de deux fonctions : `(u/v)'` = `(u'v-uv')/v^2`

Tableau des dérivées des fonctions usuelles

Tableau des dérivées des fonctions usuelles

deriver(`k;x`)	`0`
deriver(`x`)	`1`
deriver(`x^n`)	`n*x^(n-1)`
deriver(`sqrt(x)`)	`1/(2*sqrt(x))`
deriver(`abs(x)`)	`1`
deriver(`"arccos"(x)`)	`-1/sqrt(1-(x)^2)`
deriver(`"arcsin"(x)`)	`1/sqrt(1-(x)^2)`
deriver(`"arctan"(x)`)	`1/sqrt(1-(x)^2)`
deriver(`ch(x)`)	`sh(x)`
deriver(`cos(x)`)	`-sin(x)`
deriver(`""cotan""(x)`)	`-1/sin(x)^2`
deriver(`"coth"(x)`)	`-1/(sh(x))^2`
deriver(`exp(x)`)	`exp(x)`
deriver(`ln(x)`)	`1/(x)`
deriver(`log(x)`)	`1/(ln(10)*x)`
deriver(`sh(x)`)	`ch(x)`
deriver(`sin(x)`)	`cos(x)`
deriver(`tan(x)`)	`1/cos(x)^2`
deriver(`th(x)`)	`1/(ch(x))^2`

En appliquant ces formules et en utilisant ce tableau, il est possible de calculer la dérivée de n'importe quelle fonction. Ce sont ces méthodes de calcul que la calculatrice utilise pour trouver les dérivées de fonction.

Equation de la tangente à une courbe en un point

C est la courbe représentative d'une fonction f dérivable en un point a. La tangente à C au point A(a;f(a)) est la droite qui passe par A et dont le coefficient directeur est `f'(a)`.
Une équation de la tangente à C au point A(a;f(a)) est :
`y = f(a) + f'(a)(x-a)`.

Sens de variation et dérivée

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• f est croissante sur I si, et seulement si sa dérivée est strictement positive pour tout x de I.
• f est décroissante sur I si, et seulement si sa dérivée est strictement négative pour tout x de I.
• f est constante sur I si, et seulement si sa dérivée s'annule pour tout x de I.

Calcul des primitives d'une fonction

Définition d'une primitive

La fonction numérique F est une primitive de la fontion numérique f sur l'intervalle D, si F est dérivable sur D, et pour tout réel x de D, F'(x)=f(x).

Formules de calcul de primitives

Tableau des primitives des fonctions usuelles

primitive(`k;x`)	`kx + c`
primitive(`x`)	`x^2/2 + c`
primitive(`x^n`)	`x^(n+1)/(n+1) + c`
primitive(`1/x^n`)	`-1/((n-1)*x^(n-1)) + c`
primitive(`abs(x)`)	`x/2 + c`
primitive(`"arccos"(x)`)	`x*arccos(x)-sqrt(1-(x)^2) + c`
primitive(`"arcsin"(x)`)	`x*arcsin(x)+sqrt(1-(x)^2) + c`
primitive(`"arctan"(x)`)	`x*arctan(x)-1/2*ln(1+(x)^2) + c`
primitive(`ch(x)`)	`sh(x) + c`
primitive(`cos(x)`)	`sin(x) + c`
primitive(`""cotan""(x)`)	`ln(sin(x)) + c`
primitive(`"coth"(x)`)	`ln(sh(x)) + c`
primitive(`exp(x)`)	`exp(x) + c`
primitive(`ln(x)`)	`x*ln(x)-x + c`
primitive(`log(x)`)	`(x*log(x)-x)/ln(10) + c`
primitive(`sh(x)`)	`ch(x) + c`
primitive(`sin(x)`)	`-cos(x) + c`
primitive(`sqrt(x)`)	`2/3*(x)^(3/2) + c`
primitive(`tan(x)`)	`-ln(cos(x)) + c`
primitive(`th(x)`)	`ln(ch(x)) + c`

Les conventions suivantes sont utilisées dans le tableau de primitives : c représente une constante.

Le calculateur permet d'obtenir une primitive pour de nombreuses fonctions usuelles.

Fonctions numériques : les calculateurs

• abs : valeur absolue. La fonction abs permet de calculer en ligne la valeur absolue d'un nombre.
• arccos : arc cosinus. La fonction arccos permet le calcul de l'arccos d'un nombre. L'arccos est la fonction réciproque de la fonction cosinus.
• arcsin : arc sinus. La fonction arcsin permet le calcul de l'arcsin d'un nombre. L'arcsin est la fonction réciproque de la fonction sinus.
• arctan : arc tangente. La fonction arctan permet le calcul de l'arctan d'un nombre. L'arctan est la fonction réciproque de la fonction tangente.
• calcul_parite : Calcul de la parité d'une fonction. Calculateur qui permet de déterminer si une fonction est une fonction paire ou une fonction impaire.
• ch : cosinus hyperbolique. La fonction ch permet de calculer en ligne le cosinus hyperbolique d'un nombre.
• cos : cosinus. La fonction trigonométrique cos permet le calcul du cos d'un angle exprimé en radians, degrés, ou grades.
• cosec : cosecante. La fonction trigonométrique cosec permet de calculer la cosec d'un angle exprimé en radians, degrés, ou grades.
• cotan : cotangente. La fonction trigonométrique cotan permet de calculer la cotan d'un angle exprimé en radians, degrés, ou grades.
• coth : cotangente hyperbolique. La fonction coth permet de calculer en ligne la cotangente hyperbolique d'un nombre.
• degre : degré d'un polynôme. La fonction degre permet de calculer en ligne le degré d'un polynôme.
• deriver : dériver une fonction en ligne. Le calculateur de dérivée permet le calcul de la derivée d'une fonction par rapport à une variable avec le détail et les étapes de calcul.
• developpement_limite : Calcul le développement limité d'une fonction. Le calculateur de développement limité permet de calculer en ligne le développement limité d'une fonction numérique.
• exp : exponentielle. La fonction exp permet de calculer en ligne l'exponentielle d'un nombre.
• integrale : Calcul l'intégrale d'une fonction en ligne. Le calculateur d'intégrale permet de calculer en ligne l'intégrale d'une fonction numérique entre deux valeurs.
• limite : limite d'une fonction. Le calculateur de limite permet le calcul de la limite d'une fonction avec le détail et les étapes de calcul.
• ln : logarithme népérien. La fonction ln permet de calculer en ligne le logarithme népérien d'un nombre.
• log : logarithme décimal. La fonction log permet de calculer le logarithme décimal d'un nombre en ligne.
• primitive : calcul de primitive en ligne. Le calculateur de primitives permet de calculer en ligne une primitive de fonction avec le détail et les étapes de calcul.
• racine_cubique : racine cubique. Le calculateur de racine cubique permet de déterminer en ligne la racine cubique d'un nombre réel.
• resoudre : résoudre équation en ligne. Ce solveur d'équation permet de résoudre une équation en ligne sous forme exacte avec les étapes du calcul : équation du premier degré, équation du second degré, équation produit nul, équation logarithmique, équation différentielle.
• resoudre_inequation : résoudre une inéquation en ligne. Solveur d'inéquation qui permet de résoudre une inéquation avec les détails du calcul : inéquation du premier degré, inéquation du second degré.
• sec : secante. La fonction trigonométrique sec permet de calculer la sec d'un angle exprimé en radians, degrés, ou grades.
• sh : sinus hyperbolique. La fonction sh permet de calculer en ligne le sinus hyperbolique d'un nombre.
• sin : sinus. La fonction trigonométrique sin permet de calculer le sin d'un angle exprimé en radians, degrés, ou grades.
• sqrt : racine carrée. La fonction sqrt permet de calculer la racine carrée d'un nombre sous forme exacte.
• tableau_valeurs : tableau de valeurs d'une fonction. Le calculateur de valeurs retourne le tableau de valeurs d'une fonction obtenu à partir d'une valeur intiale et de la différence entre deux valeurs consécutives (pas).
• tan : tangente. La fonction trigonométrique tan permet de calculer la tan d'un angle exprimé en radians, degrés, ou grades.
• th : tangente hyperbolique. La fonction th permet de calculer la tangente hyperbolique d'un nombre sous forme exacte.
• valuation : valuation d'un polynôme. La fonction valuation permet de calculer en ligne la valuation d'un polynôme.

Fonctions numériques : les jeux et quiz

Fonctions numériques : les exercices

• Exercice 1414, simplifier la racine carrée d'un nombre entier - racines carrées : Le but de cet exercice de calcul corrigé est de simplifier la racine carrée d'un nombre entier.
• Exercice 1415, résoudre une équation carrée - racines carrées - résolution d'équation - équations : Le but de cet exercice de mathématiques corrigé est de résoudre une équation de la forme `x^2=a`.
• Exercice 1416, simplifier un produit de racines carrées - racines carrées : Le but de cet exercice de mathématiques corrigé est de simplifier un produit de racines carrées.
• Exercice 1417, simplifier un quotient de racines carrées - racines carrées : Le but de cet exercice de mathématiques corrigé est de simplifier un quotient de racines carrées.
• Exercice 1418, simplifier une racine carrée - racines carrées - ordre, valeur absolue, inéquations - nombres et équations : Le but de cet exercice de mathématiques corrigé est d'écrire une racine carrée sous une forme simplifiée.
• Exercice 1419, simplifier un quotient de racines carrées - racines carrées : Le but de cet exercice corrigé de mathématique est d'écrire un quotient de racines carrées sous une forme simplifiée.
• Exercice 1435, calcul de la valeur d'une fonction pour un nombre donné - nombres entiers et rationnels : Le but de cet exercice de mathématiques corrigé est de calculer la valeur d'une fonction pour un nombre donné.
• Exercice 1505, fonctions paires et impaires - fonctions carré et inverse : Le but de cet exercice corrigé est de déterminer la parité d'une fonction (préciser si la fonction est paire ou impaire).
• Exercice 1506, déterminer la parité d'une fonction à partir de sa représentation graphique - fonctions carré et inverse : Le but de cet exercice corrigé est de déterminer graphiquement la parité d'une fonction (préciser si la fonction est paire ou impaire).
• Exercice 1507, représentation graphique des fonctions carré et inverse - fonctions carré et inverse : Le but de cet exercice corrigé est de reconnaitre à partir de leurs représentations graphiques les fonctions carré et inverse.
• Exercice 1509, conversions d'angles - fonctions sinus et cosinus : Le but de cet exercice de mathématiques corrigé est de convertir des angles exprimés en degrés en radians.
• Exercice 1510, calcul trigonométrique - fonctions sinus et cosinus : Le but de cet exercice de mathématiques est de calculer des expressions qui contiennent des sinus, des cosinus et des angles remarquables.
• Exercice 1511, valeur absolue d'une expression numérique - ordre, valeur absolue, inéquations : Cet exercice corrigé consiste simplement à calculer la valeur absolue d'une expression numérique.
• Exercice 1512, valeur absolue d'une fraction - ordre, valeur absolue, inéquations : Cet exercice corrigé consiste simplement à calculer la valeur absolue d'une expression algébrique composée de fractions.
• Exercice 1513, équation avec valeur absolue - ordre, valeur absolue, inéquations - équations : Le but de cet exercice corrigé est de résoudre une équation avec une valeur absolue (équation de la forme |x-a|=b).
• Exercice 1514, équation avec valeur absolue et fractions - ordre, valeur absolue, inéquations - équations : Le but de cet exercice corrigé est de résoudre une équation avec une valeur absolue et des fractions.
• Exercice 1604, nombre dérivé d'une fonction - dérivées de fonctions : Le but de cet exercice corrigé de mathématiques est de calculer le nombre dérivé d'une fonction.
• Exercice 1605, dérivée d'un polynôme - dérivées de fonctions : Le but de cet exercice est de déterminer grâce aux méthodes de calculs algébriques la dérivée d'une fonction polynôme.
• Exercice 1606, dérivée d'une racine carrée - dérivées de fonctions : Le but de cet exercice de mathématiques corrigé est de calculer la dérivée d'une racine carrée.
• Exercice 1607, dérivée d'un quotient - dérivées de fonctions : Le but de cet exercice de mathématiques corrigé est de calculer la dérivée d'un quotient.
• Exercice 1608, dérivée d'un quotient et d'un polynôme - dérivées de fonctions : Le but de cet exercice de mathématiques corrigé est de calculer la dérivée d'un quotient et d'un polynôme.
• Exercice 1609, dérivée d'un polynôme et d'une racine carrée - dérivées de fonctions : Le but de cet exercice de mathématiques corrigé est de calculer la dérivée d'un polynôme et d'une racine carrée.
• Exercice 1610, dérivée d'une fonction composée d'une racine carrée et d'un polynôme - dérivées de fonctions : Le but de cet exercice de mathématiques corrigé est de calculer la dérivée d'une fonction composée d'une racine carrée et d'un polynôme.
• Exercice 1611, dérivée d'un quotient de polynômes - dérivées de fonctions : Le but de cet exercice sur les fonctions est de calculer la dérivée d'un quotient de polynômes.
• Exercice 1612, dérivée du produit d'une racine carrée et d'un polynôme - dérivées de fonctions : Le but de cet exercice sur les fonctions est de calculer la dérivée du produit d'une racine carrée et d'un polynôme.
• Exercice 1613, dérivée et équation de la tangente - dérivées de fonctions : Le but de cet exercice corrigé de mathématiques est de calculer le nombre dérivé d'une fonction et d'en déduire l'équation d'une tangente à une courbe.
• Exercice 1709, simplification du logarithme népérien - logarithme népérien : Le but de cet exercice corrigé est de simplifier un logarithme népérien contenant une puissance.
• Exercice 1710, simplification du logarithme népérien d'un quotient - logarithme népérien : Le but de cet exercice corrigé est de simplifier un logarithme népérien contenant un quotient.
• Exercice 1711, simplification d'une fraction et du logarithme népérien d'un quotient - logarithme népérien : Le but de cet exercice corrigé est de simplifier le produit d'une fraction et d'un logarithme népérien contenant un quotient.
• Exercice 1712, simplification du logarithme népérien d'une racine carrée - logarithme népérien : Le but de cet exercice corrigé est de simplifier le logarithme népérien d'une racine carrée.
• Exercice 1713, logarithme népérien et calcul de primitive - logarithme népérien - primitives : Le but de cet exercice corrigé est d'utiliser le logarithme népérien pour le calcul de primitive.
• Exercice 1714, logarithme népérien et calcul de primitive - logarithme népérien - primitives : Le but de cet exercice corrigé est d'utiliser le logarithme népérien pour le calcul de primitive.
• Exercice 1715, logarithme népérien et calcul de dérivée - logarithme népérien - dérivées de fonctions : Le but de cet exercice corrigé est d'utiliser le logarithme népérien pour le calcul de dérivée.
• Exercice 1716, logarithme népérien et calcul de dérivée - logarithme népérien - dérivées de fonctions : Le but de cet exercice corrigé est d'utiliser le logarithme népérien pour le calcul de dérivée.
• Exercice 1717, exponentielle et logarithme népérien - exponentielle : Le but de cet exercice corrigé est d'utiliser les propriétés de l'exponentielle et du logarithme népérien pour simplifier une expression algébrique.
• Exercice 1718, exponentielle et logarithme népérien - exponentielle : Le but de cet exercice corrigé est d'utiliser les propriétés de l'exponentielle et du logarithme népérien pour simplifier une expression algébrique.
• Exercice 1719, exponentielle et logarithme népérien - exponentielle : Le but de cet exercice corrigé est d'utiliser les propriétés de l'exponentielle et du logarithme népérien pour simplifier une expression algébrique.
• Exercice 1731, exponentielle et calcul de dérivées - exponentielle - dérivées de fonctions : Le but de cet exercice corrigé est d'utiliser l'exponentielle pour le calcul de dérivées.
• Exercice 1740, calcul de la primitive d'une fonction polynôme - primitives : Le but de cet exercice corrigé est de calculer une primitive de fonction.
• Exercice 14111, écriture simplifiée de la somme d'un entier et d'une racine carrée - racines carrées : L'objectif de cet exercice est d'écrire une expression composée de la somme d'un entier et d'une racine carrée.
• Exercice 14112, simplification d'une somme de racines carrées - racines carrées : L'objectif de cet exercice est de simplifier une expression composée de plusieurs racines carrées.

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