Nombres complexes : Mémento

Un nombre complexe est un couple ordonné de deux nombres réels (a,b).

• a est appelé la partie réelle de (a,b).
• b est appelé la partie imaginaire de (a,b).

Pour représenter un nombre complexe, on utilise la notation algébrique ou forme algébrique, z = a+ib avec `i^2`=-1.

Conjugué d'un nombre complexe

Le conjugué du nombre complexe `a+i*b` , avec a et b réels est le nombre complexe `a-i*b`.

Affixe d'un nombre complexe

Soit (O,`vec(i)`,`vec(j)`) un repère orthonormal direct. Le complexe z = `a +i b` est appelé affixe du point M de coordonnées (a;b). M est l'image du nombre complexe z.

L'affixe du vecteur `vec(AB)` est `z_b-z_a`, où `z_b` et `z_a` sont les affixes respectives des points A et B.

Module d'un complexe

Le module d’un nombre complexe z=a+ib (où a et b sont réels) est le nombre réel positif, noté |z| , défini par : `|z|=sqrt(a^2+b^2)`

Argument d'un nombre complexe

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct `(O,vec(i),vec(j))`. Soit z un nombre complexe non nul et M son image. On appelle argument du nombre complexe z, n’importe quelle mesure, exprimée en radians, de l’angle `(vec(i),vec(OM))`.

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Un nombre complexe z d'argument `theta` et de module r, peut s'écrire sous sa forme trigonométrique `z=r(cos(theta)+i*sin(theta))`, |z| = r, arg(z) = `theta`.

Notation exponentielle d'un nombre complexe

Pour tout réél `theta`, on note `e^(i*theta)` le nombre complexe `cos(theta)+i*sin(theta)`.

Un nombre complexe z d'argument `theta` et de module r, peut s'écrire sous sa forme exponentielle `z=r*e^(i*theta)`, |z| = r, arg(z) = `theta`.

Équation du second degré à coefficients réels

Une équation du second degré à coefficients réels admet dans `CC`:
• Une solution réelle si le discriminant `Delta=0`
• Deux solutions réelles si `Delta>0`
• Deux solutions complexes conjuguées si, et seulement si `Delta<0`
Par exemple, l'équation `x^2+1=0`, a un discriminant négatif, elle admet donc deux solutions complexes conjuguées.