Equations : Mémento

Une équation est une égalité qui fait intervenir une ou plusieurs variables, résoudre une équation dans un ensemble, c'est trouver la ou les valeurs des variables dans cet ensemble qui vérifie l'équation, ce sont les solutions de l'équation. Les variables sont souvent désignées par le terme inconnue, lorsque l'équation ne comporte qu'une inconnue, elle est souvent désignée par la lettre x.

Par exemple, 3x-3=0 est une équation, résoudre pour x dans `RR` cette équation, c'est trouver les solutions dans `RR` de cette équation.

Lorsqu'on doit résoudre plusieurs équations, à plusieurs variables, on parle de système d'équations.

Il existe des méthodes et des formules qui permettent de résoudre certains type d'équation comme les équations du premier degré (équation linéaire), les équations du second degré (équation quadratique), ou encore les équations produits.

  1. Résoudre une équation à une inconnue du premier degré

    2. Résoudre une équation à une inconnue x dans R, c'est déterminer l'ensemble des réels x vérifiant la dite équation. Cet ensemble est appelé ensemble des solutions de l'équation.

    1. Lorsqu'on ajoute ou retranche un même réel aux deux membres d'une équation, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions que la précédente.
    2. Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une équation par un réel non nul, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions que la précédente.
    En utilisant ces règles, il est facile de démontrer que les équations de la forme ax+b=0, si a est non nul, admettent une unique solution qui est `x=-b/a`.

  2. Résoudre une équation produit

    3. Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

    1. Dire que a.b = 0 équivaut à dire que a est nul ou que b est nul.
    2. Pensez à utiliser les identités remarquables pour se ramener à un produit de facteurs et à un cas classique de résolution d'équation.

  3. Résoudre une équation du second degré à l'aide du discriminant

    4. On appelle discriminant du trinôme `a*x^2+b*x+c`, avec a non nul, le réel `Delta=b^2-4*a*c`

    • Lorsque `Delta<0` l'équation n'a pas de racine
    • Lorsque `Delta=0` l'équation a une racine `-b/2a`
    • Lorsque `Delta>0` l'équation a deux racines distinctes `(-b-sqrt(Delta))/(2a)` et `(-b+sqrt(Delta))/(2a)`

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