Gleichungen : Merkzettel

Eine Gleichung ist eine Gleichheit, die eine oder mehrere Variablen beinhaltet. Eine Gleichung in einer Menge zu lösen, bedeutet, den Wert oder die Werte der Variablen in dieser Menge zu finden, die die Gleichung überprüfen, das sind die Lösungen der Gleichung. Die Variablen werden oft als Unbekannte bezeichnet, wenn die Gleichung nur eine Unbekannte hat, wird diese oft mit dem Buchstaben x bezeichnet

Zum Beispiel ist 3x-3=0 eine Gleichung, nach x in ℝ diese Gleichung zu lösen, bedeutet, die Lösungen in ℝ dieser Gleichung zu finden.

Wenn man mehrere Gleichungen mit mehreren Variablen lösen muss, spricht man von einem Gleichungssystem.

Es gibt Methoden und Formeln, mit denen man bestimmte Arten von Gleichungen lösen kann, z. B. Gleichungen ersten Grades (lineare Gleichung), Gleichungen zweiten Grades (quadratische Gleichung) oder auch Produktgleichungen.

  1. Lösen einer Gleichung mit einer Unbekannten ersten Grades

    2. Eine Gleichung mit einer Unbekannten x in R zu lösen, bedeutet, die Menge der reellen Zahlen x zu bestimmen, die diese Gleichung erfüllen. Diese Menge wird als Lösungsmenge der Gleichung bezeichnet.

    1. Wenn man zu den beiden Gliedern einer Gleichung die gleiche reelle Zahl addiert oder subtrahiert, erhält man eine neue Gleichung, die die gleichen Lösungen hat wie die vorherige.
    2. Wenn man die beiden Glieder einer Gleichung mit einer reellen Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert, erhält man eine neue Gleichung, die die gleichen Lösungen wie die vorherige hat.
    Unter Verwendung dieser Regeln ist es leicht zu zeigen, dass Gleichungen der Form ax+b=0, wenn a ungleich null ist, eine einzige Lösung haben, die `x=-b/a` ist.

  2. Lösen einer Produktgleichung

    3. Ein Produkt aus zwei Faktoren ist null, wenn und nur wenn einer der Faktoren null ist.

    1. Zu sagen, dass a.b = 0 ist, ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass a null ist oder dass b null ist.
    2. Denken Sie daran, die bemerkenswerten Identitäten zu verwenden, um auf ein Produkt von Faktoren und auf einen klassischen Fall der Gleichungslösung zurückgeführt zu werden.

  3. Lösen Sie eine quadratische Gleichung mithilfe der Diskriminante.

    4. Als Diskriminante des Trinoms `a*x^2+b*x+c`, mit a ungleich Null, bezeichnet man den reellen Wert `Delta=b^2-4*a*c`

    • Wenn `Delta<0` hat die Gleichung keine Wurzel
    • Wenn `Delta=0` hat die Gleichung eine Wurzel `-b/2a`
    • Wenn `Delta>0` hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln `(-b-sqrt(Delta))/(2a)` und `(-b+sqrt(Delta))/(2a)`

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