Diese Seite bietet zahlreiche Ressourcen, die den Umgang mit reellwertigen Funktionen ermöglichen, Rechner, Quizze, Spiele und Übungen. Speziellere Ressourcen für trigonometrische Funktionen sind ebenfalls verfügbar.

Die Ressourcen betreffen die Ableitung einer Funktion, die Primitiven einer Funktion, die Grenzen einer Funktion, die Werte einer Funktion, die grafische Darstellung einer Funktion ausgehend von ihrem algebraischen Ausdruck, die Werte, bei denen eine Funktion annulliert wird (die Nullstellen).

Reellwertigen Funktionen : die Rechner

• Ableitungsrechner : ableitungsrechner. Der Ableitung rechner online ermöglicht die Berechnung der Ableitung einer Funktion in Bezug auf eine Variable mit den Details und Berechnungsschritten.
• Absoluter Wert : abs. Die abs-Funktion berechnet online den absoluten Wert einer Zahl.
• Arkuskosinus : arccos. Die Funktion arccos ermöglicht die Berechnung des Arkuskosinus einer Zahl. Der Arkuskosinus ist die reziproke Funktion der Cosinusfunktion.
• Arkussinus : arcsin. Die ArcSin-Funktion ermöglicht die Berechnung des Arkussinus einer Zahl. Der Sinusbogen ist die reziproke Funktion der Sinusfunktion.
• Arkuskotangens : arctan. Die Arctan-Funktion ermöglicht die Berechnung des Arkuskotangens einer Zahl. Der Arkuskotangens ist die reziproke Funktion der Tangentenfunktion.
• Bewertung eines Polynoms : bewertung. Die Bewertungsfunktion ermöglicht es, die Bewertung eines Polynoms online zu berechnen.
• Kosinus hyperbolicus : ch. Die ch-Funktion ermöglicht es Ihnen, den Kosinus hyperbolicus einer Zahl online zu berechnen.
• Kosinus : cos. Die trigonometrische Funktion cos ermöglicht die Berechnung des Kosinus eines Winkels, ausgedrückt in Bogenmaß, Grad oder Gon.
• Kosekante : cosec. Mit der trigonometrischen Funktion cosec können Sie die Kosekante eines Winkels in Bogenmaß, Grad oder Gon berechnen.
• Kotangens : cotan. Die trigonometrische Funktion von cotan ermöglicht es Ihnen, den Kotangens eines Winkels zu berechnen, der in Bogenmaß, Grad oder Gon ausgedrückt wird.
• Hyperbolischer Kotangens : coth. Mit der coth-Funktion können Sie den hyperbolischen Kotangens einer Zahl online berechnen.
• Exponentialfunktion : exp. Mit der Funktion exp können Sie online das Exponential einer Zahl berechnen.
• Gleichung lösen online : gleichungsrechner. Dieser Gleichungslöser löst eine Online-Gleichung in exakter Form mit den Schritten der Berechnung: Erstgradgleichung, Zweitgradgleichung, Nullproduktgleichung, logarithmische Gleichung, Differentialgleichung.
• Grad eines Polynoms : grad. Mit der Gradfunktion können Sie den Grad eines Polynoms online berechnen.
• Grenzwert Rechner einer Funktion : grenzwertrechner. Der Grenzwertrechner ermöglicht die Berechnung der Grenze einer Funktion mit den Details und Berechnungsschritten.
• Integralrechnung : integralrechner. Der Integralrechner können Sie online das Integral einer Funktion zwischen zwei Werten berechnen.
• Kubikwurzel : kubikwurzel. Mit der Funktion kubikwurzel können Sie online die Kubikwurzel einer Zahl berechnen.
• Natürlicher Logarithmus : ln. Mit der Funktion ln können Sie online den natürlichen Logarithmus einer Zahl berechnen.
• Dekadischer Logarithmus : log. Mit der Funktion log können Sie den Dekadischen Logarithmus einer Online-Zahl berechnen.
• Lösen Sie eine Online-Ungleichung : losen_ungleichung. Ungleichungslöser, der eine Ungleichung mit den Details der Berechnung löst: Ungleichung ersten Grades, Ungleichung zweiten Grades.
• Berechnung der Parität einer Funktion : paritatsberechnung. Rechner, der bestimmt, ob eine Funktion eine gerade Funktion oder eine ungerade Funktion ist.
• Sekante : sec. Mit der trigonometrischen Funktion sec können Sie die Sekante eines Winkels in Bogenmaß, Grad oder Gon berechnen.
• Sinus hyperbolicus : sh. Mit der Funktion sh können Sie online den Sinus hyperbolicus einer Zahl berechnen.
• Sinus : sin. Die trigonometrische Sinusfunktion ermöglicht es Ihnen, den Sinus eines Winkels zu berechnen, ausgedrückt in Bogenmaß, Grad oder Gon.
• Quadratwurzel : sqrt. Mit der Funktion sqrt können Sie die Quadratwurzel einer Zahl exakt berechnen.
• Unbestimmtes Integral : stammfunktion. Mit dem Stammfunktionsrechner können Sie eine Stammfunktion online mit Details und Berechnungsschritten berechnen.
• Tangens : tan. Die trigonometrische Funktion tan ermöglicht es Ihnen, die Tangens eines Winkels zu berechnen, ausgedrückt in Bogenmaß, Grad oder Gon.
• Berechnet die Taylor-Entwicklung einer Funktion. : taylor_entwicklung. Der Taylor-Serienrechner ermöglicht es, die Taylor-Erweiterung einer Funktion zu berechnen.
• Tangens hyperbolicus : th. Mit der Funktion th können Sie den Tangens hyperbolicus einer Zahl in exakter Form berechnen.
• Array von Werten einer Funktion : wertearray. Der Wertekalkulator gibt die Wertetabelle zurück einer Funktion, die aus einem Anfangswert und der Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Werten (Schritten) gewonnen wird.

Reellwertigen Funktionen : die Spiele, Quizze und Übungen

Reellwertigen Funktionen : Merkzettel

Reelle Funktionen Definition

Eine reelle Funktion von A nach B ist definiert durch die Angabe von :

• A: Startmenge
• B: Zielmenge
• und eine Abbildung, mit der jedem Element x in A höchstens ein Element y in B zugeordnet werden kann.

Gerade und ungerade Funktionen

• Eine Funktion ist auf ℝ gerade wenn `RR` für jedes `x in RR` f(x)=f(-x) gilt
• Eine Funktion ist auf ℝ ungerade wenn `RR` für alle `x in RR` f(-x)=-f(x) gilt

Mithilfe des Rechners kann man feststellen, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist.

Grafische Darstellung von reellen Funktionen

Die Menge der Punkte mit den Koordinaten M(x; y), wobei y das Bild von x durch f darstellt, wird als repräsentative Kurve einer reellen Funktion f bezeichnet. Hier ist zum Beispiel die grafische Darstellung der Funktion f, die durch `f(x)=x^2-3` definiert ist, die wir mithilfe des Taschenrechners erhalten haben.

Grafische Darstellung einer geraden Funktion.

Wenn eine Funktion in einem orthogonalen Koordinatensystem gerade ist, ist die Ordinatenachse eine Symmetrieachse ihrer grafischen Darstellung.

Grafische Darstellung einer ungeraden Funktion

Wenn eine Funktion in einem Koordinatensystem ungerade ist, ist der Nullpunkt O ein Symmetriezentrum ihrer grafischen Darstellung.

Steigende und fallende Funktionen.

f ist eine Funktion und I ein Intervall, das in seiner Definitionsmenge enthalten ist.

• Die Aussage, dass f auf I streng steigend ist, bedeutet, dass für alle reellen Zahlen u und v aus dem Intervall I die Ungleichung u > v bedeutet, dass f(u) > f(v).
• Zu sagen, dass f auf I strikt fallend ist, bedeutet, dass für alle reellen Zahlen u und v aus dem Intervall I die Ungleichung u > v bedeutet, dass f(u) < f(v).

Berechnung der Ableitung einer Funktion

Übliche Formeln, die zur Berechnung der Ableitung einer Funktion zu verwenden sind

• Formel zur Berechnung der Ableitung einer Funktionssumme : (u+v)' = u'+v'
• Formel zur Berechnung der Ableitung eines Funktionsproduktes : (uv)' = u'v+uv'
• Formel zum Berechnen der Ableitung einer Funktion multipliziert mit einer Konstanten : (ku)' = ku'
• Formel zur Berechnung der inversen Ableitung einer Funktion : `(1/v)'` = `-(v')/v^2`
• Formel zum Berechnen der Ableitung aus dem Verhältnis von zwei Funktionen : `(u/v)'` = `(u'v-uv')/v^2`
• Formel zur Berechnung der Ableitung einer zusammengesetzten Funktion : `(u@v)'= v'*u'@v`

Tabelle der Ableitungen gemeinsamer Funktionen

Es ist auch notwendig, die üblichen Funktionen zu kennen, die in der folgenden Tabelle aufgeführt sind:

Tabelle der Ableitungen gemeinsamer Funktionen

ableitungsrechner(`k;x`)	`0`
ableitungsrechner(`x`)	`1`
ableitungsrechner(`x^n`)	`n*x^(n-1)`
ableitungsrechner(`sqrt(x)`)	`1/(2*sqrt(x))`
ableitungsrechner(`abs(x)`)	`1`
ableitungsrechner(`"arccos"(x)`)	`-1/sqrt(1-(x)^2)`
ableitungsrechner(`"arcsin"(x)`)	`1/sqrt(1-(x)^2)`
ableitungsrechner(`"arctan"(x)`)	`1/sqrt(1-(x)^2)`
ableitungsrechner(`ch(x)`)	`sh(x)`
ableitungsrechner(`cos(x)`)	`-sin(x)`
ableitungsrechner(`""cotan""(x)`)	`-1/sin(x)^2`
ableitungsrechner(`"coth"(x)`)	`-1/(sh(x))^2`
ableitungsrechner(`exp(x)`)	`exp(x)`
ableitungsrechner(`ln(x)`)	`1/(x)`
ableitungsrechner(`log(x)`)	`1/(ln(10)*x)`
ableitungsrechner(`sh(x)`)	`ch(x)`
ableitungsrechner(`sin(x)`)	`cos(x)`
ableitungsrechner(`tan(x)`)	`1/cos(x)^2`
ableitungsrechner(`th(x)`)	`1/(ch(x))^2`

Durch Anwendung dieser Formeln und unter Verwendung dieser Tabelle kann die Ableitung einer beliebigen Funktion berechnet werden. Es sind diese Berechnungsmethoden, die der Taschenrechner verwendet, um die Ableitungen von Funktionen zu finden.

Gleichung der Tangente an eine Kurve in einem Punkt.

C ist die repräsentative Kurve einer Funktion f, die in einem Punkt a ableitbar ist. Die Tangente an C im Punkt A(a;f(a)) ist die Gerade, die durch A verläuft und deren Leitkoeffizient `f'(a)` ist.
Eine Gleichung für die Tangente an C im Punkt A(a;f(a)) ist :
`y = f(a) + f'(a)(x-a)`.

Steigende , fallende Funktionen und Differentialrechnung.

Sei f eine Funktion, die auf einem Intervall I ableitbar ist.

• f ist auf I dann und nur dann steigend, wenn seine Ableitung für jedes x in I strikt positiv ist.
• f ist auf I fallend, wenn und nur wenn seine Ableitung für jedes x in I strikt negativ ist.
• f ist über I konstant, wenn und nur wenn seine Ableitung für jedes x in I aufgehoben wird.

Berechnung der Stammfunktionen einer Funktion

Formeln zur Berechnung von Stammfunktionen

abelle der Stammfunktion der üblichen Funktionen

stammfunktion(`k;x`)	`kx + c`
stammfunktion(`x`)	`x^2/2 + c`
stammfunktion(`x^n`)	`x^(n+1)/(n+1) + c`
stammfunktion(`1/x^n`)	`-1/((n-1)*x^(n-1)) + c`
stammfunktion(`abs(x)`)	`x/2 + c`
stammfunktion(`"arccos"(x)`)	`x*arccos(x)-sqrt(1-(x)^2) + c`
stammfunktion(`"arcsin"(x)`)	`x*arcsin(x)+sqrt(1-(x)^2) + c`
stammfunktion(`"arctan"(x)`)	`x*arctan(x)-1/2*ln(1+(x)^2) + c`
stammfunktion(`ch(x)`)	`sh(x) + c`
stammfunktion(`cos(x)`)	`sin(x) + c`
stammfunktion(`""cotan""(x)`)	`ln(sin(x)) + c`
stammfunktion(`"coth"(x)`)	`ln(sh(x)) + c`
stammfunktion(`exp(x)`)	`exp(x) + c`
stammfunktion(`ln(x)`)	`x*ln(x)-x + c`
stammfunktion(`log(x)`)	`(x*log(x)-x)/ln(10) + c`
stammfunktion(`sh(x)`)	`ch(x) + c`
stammfunktion(`sin(x)`)	`-cos(x) + c`
stammfunktion(`sqrt(x)`)	`2/3*(x)^(3/2) + c`
stammfunktion(`tan(x)`)	`-ln(cos(x)) + c`
stammfunktion(`th(x)`)	`ln(ch(x)) + c`

Die folgenden Konventionen werden im Stammfunktionen Array verwendet: c steht für eine Konstante.

Taschenrechner verwendet, um die Ableitungen von Funktionen zu finden.

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