Definition
Für jedes Paar ganzer Zahlen a, b mit b ungleich Null bezeichnet man das Verhältnis a:b als Bruch, man notiert es mit `a/b`, a wird als
Zähler
und b als
Nenner bezeichnet.
Ein Bruch wird auch als
rationale Zahl bezeichnet.
- Bemerkung :`a/b`=a:b
- Beispiel :`1/2` = 1:2 = 0,5
Vereinfachung eines Bruchs
Um einen Bruch zu vereinfachen,
zerlegt man zunächst den Zähler und den Nenner in das Produkt von Primzahlen.
Wenn im Zähler und im Nenner dieselbe Zahl vorkommt, kann man den Bruch vereinfachenn.
Beispiel : `56/32` = `(2*2*2*7)/(2*2*2*2*2)` = `7/4`
Irreduzibler Bruch
Ein Bruch heißt irreduzibel, wenn sein Zähler und sein Nenner Primzahlen sind.
Pour mettre une fraction sous sa forme irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur
ggt
.
Gleiche gebrochene Schreibweisen
- Wenn man den Zähler und den Nenner einer Bruchschreibung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert, erhält man eine Bruchschreibung, die gleich ist.
- Wenn man den Zähler und den Nenner einer Bruchschreibweise durch dieselbe von Null verschiedene Zahl teilt, erhält man eine Bruchschreibweise, die ihr gleich ist.
Vergleich von Brüchen
- Gleichheit von Brüchen
Zwei Brüche sind gleich, wenn es möglich ist, vom einen zum anderen zu gelangen, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert oder durch sie dividiert
- Die Brüche haben denselben Nenner.
Sie müssen nur die Zähler vergleichen.
- Die Brüche haben die gleichen Zähler
Der größte Bruch ist der mit dem kleinsten Zähler.
- Die Brüche haben unterschiedliche Zähler und Nenner
Man kommt auf den Fall zurück, dass die Nenner gleich sind, indem man die Bedingung für die Gleichheit eines Bruchs anwendet.
Es sind diese Rechentechniken, die der
Bruchvergleicher in diesem Beispiel anwendet, um die Brüche `19/11` und `13/7` zu vergleichen.
Addition von Brüchen mit demselben Nenner
Die Summe zweier Brüche mit demselben Nenner hat denselben Nenner, ihr Zähler ist gleich der Summe der Zähler.
Es gilt also die Formel:`a/k+b/k=(a+b)/k`
Das folgende Beispiel : `1/3+4/3` zeigt, wie man zwei Brüche addiert, die denselben Zähler haben.
Addition von Brüchen mit unterschiedlichem Nenner
Man kürzt die Brüche mit demselben Nenner, um auf den Fall der Addition von Brüchen mit demselben Nenner zurückzukommen.
Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner
Die Differenz zweier Brüche mit demselben Nenner hat denselben Nenner, ihr Zähler ist gleich der Differenz der Zähler.
Es gilt also die Formel:`a/k-b/k=(a-b)/k`
Das folgende Beispiel : `4/3-2/3` zeigt, wie man zwei Brüche, die denselben Zähler haben, subtrahiert.
Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichem Nenner
Man kürzt die Brüche mit demselben Nenner, um auf den Fall der Subtraktion von Brüchen mit demselben Nenner zurückzukommen.
Produkt von Brüchen
Das Produkt zweier Brüche ist gleich dem Produkt der Zähler über das Produkt der Nenner.
Beispiel :
`3/4*7/3` = `21/12`
Das folgende Beispiel `3/4*7/5` : zeigt, wie man zwei Brüche multipliziert.
Division von Brüchen
Die Division durch einen Bruch ist gleichbedeutend mit der Multiplikation mit dem Kehrwert dieses Bruchs. Mithilfe dieser Regel ist es möglich, den Quotienten eines Bruchs in das Produkt eines Bruchs umzuwandeln und die Regeln zur Vereinfachung eines Produkts von Brüchen anzuwenden.
Beispiel:`(-8/3)/(2/3)` = `-8/3*3/2` = `-8/2` = -4
